Premio Latsis 2026: Susanna Zimmermann studia l’equivalenza tra forme geometriche

Molte persone trovano difficile la matematica. Per Susanna Zimmermann, invece, è più simile a un gioco: c’è un problema ben definito, nessuna strategia prestabilita e la sfida di trovare una soluzione completamente nuova per giungere a una risposta chiara e definitiva. «Quello è il momento di passare al problema successivo», afferma Susanna Zimmermann, professoressa ordinaria di matematica presso l’Università di Basilea, insignita del Premio Latsis 2026 per la sua ricerca pionieristica nell’ambito della geometria algebrica.

«Per me la ricerca è un processo molto creativo. Mi piace riflettere su un problema e trovare una soluzione in modo strutturato e logico. Devo scomporre il problema nei suoi elementi essenziali, ricomporli in modo diverso e, in qualche modo, arrivare a una soluzione. Più la matematica diventa astratta, più questo processo può essere creativo», racconta.

Quando due forme sono davvero equivalenti?

Da quando l’umanità ha introdotto figure idealizzate come quadrati, triangoli e sfere, sono stati compiuti sforzi costanti per comprenderne le proprietà, il modo in cui possono essere trasformate e quali siano le conseguenze di tali trasformazioni. Questo processo risale al matematico dell’Antica Grecia Euclide e si è fatto sempre più sofisticato nel corso del tempo, estendendosi a geometrie altamente astratte e difficili da visualizzare. Gran parte della matematica progredisce introducendo una variazione a un concetto esistente ed esplorando quali proprietà rimangono valide e quali nuove proprietà emergono.

Un problema centrale della geometria consiste nel determinare quando due figure debbano essere considerate equivalenti, in quanto questo consente ai matematici di classificarle e di individuare le proprietà che le definiscono realmente. Una sfera, per esempio, è più simile a un cubo o a una ciambella? La risposta dipende dalle trasformazioni consentite nel sistema in esame.

Un triangolo non diventa un triangolo diverso semplicemente perché viene spostato, ruotato o riflesso in uno specchio. Tuttavia, nella geometria ordinaria, la sua forma cambia se uno dei suoi angoli viene modificato o se viene allungato in una sola direzione. In altri contesti, l’allungamento è consentito, quindi triangoli con proporzioni diverse possono essere considerati equivalenti.

Nella topologia, la branca della geometria che studia le forme sottoposte a stiramento e piegatura senza che siano tagliate o unite, anche un triangolo e un cerchio sono considerati equivalenti in quanto entrambi formano un unico contorno chiuso senza alcun foro. Per lo stesso motivo, una sfera e un cubo sono equivalenti, mentre una ciambella è diversa perché presenta un foro. La geometria moderna applica questi concetti a spazi molto più complessi, compresi quelli con più di tre dimensioni.

Quando le trasformazioni sono invertibili

Susanna Zimmermann è specializzata in geometria birazionale, una branca della matematica che studia le trasformazioni invertibili tra oggetti geometrici. «L’idea è di avere alcuni oggetti geometrici e di capire quali possano essere trasformati gli uni negli altri e quali no», spiega la professoressa.

Per esempio, quasi tutti i punti di una sfera possono essere associati a punti su un piano, e la corrispondenza può poi essere invertita per ricostruire la sfera. I due oggetti hanno un aspetto molto diverso, ma condividono comunque la stessa struttura algebrica sottostante. Ciò consente di studiare una forma complessa attraverso una più semplice senza perdere le informazioni necessarie per ricostruirla.

Potenziale per l’intelligenza artificiale e la crittografia

Oltre ad approfondire la nostra comprensione della matematica pura, questo tipo di ricerca getta le basi per future applicazioni. Un esempio in tal senso è la valutazione di modelli complessi di intelligenza artificiale, come le reti neurali, in cui impostazioni interne diverse possono talvolta produrre lo stesso risultato. Queste relazioni molti-a-uno possono rendere difficile valutare correttamente le prestazioni di un modello. I metodi birazionali aiutano i ricercatori a confrontare i modelli di intelligenza artificiale e a stimare le loro prestazioni su nuovi dati.

Un’altra applicazione riguarda la crittografia, dove i ricercatori stanno studiando chiavi crittografiche basate su trasformazioni geometriche. L’informazione originale può quindi essere recuperata applicando la trasformazione birazionale inversa utilizzata durante il processo di crittografia.

Alla ricerca degli elementi costitutivi delle simmetrie

Per stabilire se due figure siano realmente diverse, i matematici studiano le trasformazioni che le preservano, chiamate simmetrie, e le proprietà che rimangono invariate sotto di esse. «Le simmetrie tra le superfici possono diventare molto complesse, ma sono tutte costituite da simmetrie molto semplici, come le rotazioni», spiega Susanna Zimmermann. La sua ricerca si concentra sull’identificazione degli elementi fondamentali che costituiscono queste simmetrie più complesse.

Tra tutte le simmetrie birazionali, Susanna Zimmermann è particolarmente interessata a quelle che riorganizzano un dato spazio geometrico senza alterarne la struttura fondamentale. Per esempio, le linee rette possono essere mappate su linee curve, conservando al contempo informazioni sufficienti per ricostruire la configurazione originale. Tutte queste trasformazioni formano ciò che i matematici chiamano «gruppo di Cremona», un insieme di simmetrie birazionali che prende il nome dal matematico italiano del XIX secolo Luigi Cremona. Studiare un gruppo di Cremona significa comprendere tutti i diversi modi in cui uno spazio può cambiare pur rimanendo, a un livello algebrico più profondo, lo stesso.

Una svolta nelle dimensioni superiori

Da quando Cremona introdusse questa idea nel 1863, queste simmetrie sono state oggetto di studio costante e l’ultimo decennio ha portato progressi significativi. Tuttavia, i loro elementi costitutivi fondamentali in più di tre dimensioni sono ancora sconosciuti. «Questa lacuna è un po’ imbarazzante per il settore. Mi piacerebbe molto individuare questi elementi costitutivi, ed è proprio in questa direzione che si sta orientando la mia ricerca».

Nel 2021, Susanna Zimmermann ha fatto una scoperta rivoluzionaria che ha avuto un enorme impatto sul settore. Una delle domande centrali nello studio dei gruppi di Cremona è se essi contengano sottogruppi più piccoli dotati di una struttura interna significativa, cosa che era stata dimostrata solo in due dimensioni. La ricercatrice ha scomposto complesse trasformazioni birazionali in passaggi geometrici più semplici analizzando poi con quale frequenza ne ricorrono alcuni tipi particolari. Questa tecnica le ha permesso di dimostrare che i gruppi di Cremona contengono questi sottogruppi anche in tre dimensioni e oltre.

La matematica è una disciplina collaborativa

Questo articolo fondamentale «ha davvero aperto molte porte», afferma, ed è stato il risultato di un’intensa collaborazione con altri ricercatori. Mentre alcuni matematici lavorano spesso da soli e pubblicano articoli di cui sono gli unici autori, Susanna Zimmermann è in costante contatto con persone di tutto il mondo, e queste collaborazioni sfociano spesso in nuovi risultati. «Può capitare che io abbia un problema da risolvere e sia a metà strada verso una risposta. Poi incontro un’altra persona che sta riflettendo sulla stessa questione, ma possiede l’altra metà della soluzione. Uniamo le forze e portiamo a termine il lavoro insieme», dice.

La matematica è considerata la più oggettiva delle scienze, eppure, prima di giungere a una dimostrazione rigorosa, i ricercatori possono avere punti di vista molto diversi sullo stesso problema.

«Il modo in cui pensiamo è molto personale, ed è affascinante scoprire il punto di vista di qualcun altro. Può aggiungere una dimensione di comprensione completamente nuova», conclude Susanna Zimmermann. Per lei, i problemi matematici sono dei giochi, e quelli migliori non si giocano da soli.